谨以此文献给二十年前为《科学世界》宇宙大爆炸插图着迷并踏向物理之路的我。
1. 广义相对论
1.1 广义相对论
狭义相对论统一了经典力学和电动力学，然而并没有给出适用于引力的理论。诚然有诸多狭义相对论框架下的引力理论，然而爱因斯坦却独辟蹊径，从等效原理出发，将引力与时空弯曲相联系，提出了划时代的理论——广义相对论。等效原理基于一个实验事实，即物体的惯性质量等于物体的引力质量，这意味着不论物体的质量和组分如何，只要处于引力场的同一位置，其引力加速度就相同。这种“齐步走”的现象引起了爱因斯坦对时空背景的注意，他感觉到这强烈暗示着引力是整个时空背景的内禀性质。注意到闵氏时空中自由质点的世界线为测地线，自然进一步假定在弯曲时空中其世界线也是测地线，那么大质量物体就可以通过弯曲其周围时空来对每个自由质点的世界线造成同样的偏移。于是爱因斯坦将质能分布和时空弯曲联系在一起，提出了爱因斯坦方程：
爱因斯坦方程定量地阐述了时空与质量的联系，方程左侧是描述时空几何的Ricci张量，方程右侧则是描述质能分布的质能张量，两者神奇地联系在了一起。
1.2 实验验证
由于爱因斯坦方程非线性的特殊性质，求解变得异常困难，然而仍然有人在广义相对论发表短短一年后求解出第一个解，这就是真空球对称时空的施瓦西解，继而引出了对“黑洞”这一全新物理对象的争论。按下黑洞不表，施瓦西解也为验证广义相对论的正确性提供了三种可能的实验验证方案，从难到易分别为水星进动，星光偏折和引力红移。
- 水星进动：水星是离太阳最近的行星，受到太阳引力的影响也最大。牛顿力学的提出解决了行星绕转是椭圆轨迹的问题，然而随着观测精度的提升，天文学家们发现水星不仅以椭圆轨道绕转太阳，其近日点还会以一个微小的速度（每世纪$5600’’$）发生进动。考虑了所有其他行星的引力后，这个进动速度的理论预测值$5557’’$和观测值仍然有$43’’$的差距。在施瓦西时空中可以求得由于时空弯曲水星的进动速度正好为$43’’$，补上了这一缺值。水星进动问题是广义相对论的第一个实验验证。
- 星光偏折：由于大质量天体周围时空弯曲，途经的光线会受影响弯曲，从而观测到角度为$\frac{4M}{l}$的偏折，这是广义相对论的一个重要预言。验证的方案是在日食时观测太阳边缘透过的星光，等半年后地球绕到了太阳的另一面，再测量没有太阳引力干扰的星光。1919年两支考察队从英国出发分别前往巴西和非洲对3月29日的日全食进行观测，得到的观测值分别是预测值的$1.13\pm0.07$和$0.92\pm0.17$，为广义相对论又提供了重要的实验支持。
- 引力红移：在逃逸引力过程中，光波长会比发射时变长，这是广义相对论的又一预言。从太阳发出的光到达地球时相对红移量只有$2\times10^{-6}$，如果测量白矮星的引力红移，则相对红移可明显几十倍，但由于没有足够精度的实验手段，其观测结果仍然不足以确证。1960年科学家们利用穆斯堡尔效应完成了高精度的引力红移观测，证实了这一预言。由于某些原子核在特定条件下可以发出谱线宽度很窄的$\gamma$射线，而含有这种原子核的晶体又能对这种频率的$\gamma$射线做选择性甚高的共振吸收，于是可以设计实验利用竖直方向运动的多普勒效应去抵消引力红移，观测到最佳吸收时的运动速度，从而确证引力红移。这一实验手段相对误差只有1%，以很高的确定度证实了广义相对论的预言。
2. 大爆炸奇点的来源
广义相对论的建立打开了通往宇宙学的大门——时空不再独立于物质，宇宙时空将随宇宙中物质分布的变化而变化，那么我们是否能够通过观察宇宙物质现在的状态去推测宇宙时空的过去，并预言它的未来呢？
2.1 宇宙学基本假设
为了对宇宙整体进行研究，科学家提出宇宙学基本假设：每一时刻的宇宙空间在大尺度下是均匀且各向同性的。所谓空间均匀，是指空间中各点的物理情况一样，没有一个空间点比另一个空间点更特殊。 所谓各向同性，是指存在这样一个参考系，其中任一观察者向四面八方看到的物理情况相同，没有一个方向特殊。这两点在普通尺度下是当然不对的，因为宇宙中物质的分布是成团的——物质聚集成恒星，恒星聚集成星系，甚至还有星系团和超星系团。然而对距离$10^{10}$光年范围的空间的观测使人们相信，宇宙在很大的尺度下($10^8$光年)是均匀的。
从宇宙学基本假设出发，理论上可以证明宇宙的局域空间几何（用度规$h_{ab}$表示）只有三种可能：三维球面，三维平面和三维双曲面。从直觉上讲，其原因是“各向同性”这一假设非常的强，只有以上三种几何结构才能有与其匹配的最大对称性。由于$h_{ab}$是宇宙时空度规$g_{ab}$在均匀面$\Sigma_t$上的诱导度规（如球面度规为三维平直度规在球面上的诱导度规），均匀面$\Sigma_t$本身意味着宇宙时空的同时面（时空在t时刻的一个截面），因此可以利用同时面各个位置的自然观察者的世界线作为不同时刻同时面之间的联系，得到一个宇宙时空的坐标系$\{t, x^i\}$，称为 Robertsion-Walker (RW)坐标系。在宇宙空间为平直度规时，RW度规可写为将三维球面与三维双曲面也纳入RW度规，可写为：
其中$(r, k)$对三维球面、平面、双曲面分别取$(\sin\psi, +1), (\psi, 0), (\sinh\psi, -1)$。RW度规中的$a(t)$是一个只与时间相关的因子，它反映着宇宙中两个星系在t时刻固有距离的变化，称为宇宙的尺度因子。宇宙大爆炸理论，就是从研究$a(t)$随时间的演化开始的。
2.2 Freedman方程
将RW度规的爱因斯坦张量$G_{ab}$写成用$a(t)$表达的形式，再写出宇宙内容物的能动张量$T_{ab}$，便可由爱因斯坦方程得到尺度因子$a(t)$的微分方程，从而求得宇宙的演化方式。宇宙内容物可分为两大类：静质量非零的粒子构成的物质和静质量为零的粒子构成的辐射。能动量张量可写为
其中$\rho = \rho_M + \rho_R$ 为物质和辐射的总能量密度，$p = \rho_R / 3$为辐射压强， $U^a$是各向同性观者的4速度。因此有而根据RW度规写出的爱因斯坦张量则有
根据爱因斯坦方程可得
即为Friedmann方程。研究Friedmann方程能够帮助我们了解宇宙的演化。但求解Friedmann方程我们还缺乏边界条件，这需要相应的天文观测予以确定。
2.3 哈勃常数与宇宙的命运
宇宙膨胀的发现。20世纪初美国天文学家Slipher观察了41个河外星系的光谱，发现其中36个存在红移。把红移归结于多普勒效应便可得到“宇宙膨胀”的结论（当然更新的理论认为红移来源于尺度因子的增大）。迄今为止科学家观测了数以万计的星系光谱，除极少（发自很近星系）外都是红移，为“宇宙膨胀”这一论断提供了坚实的观测基础。天文学家哈勃（Hubble）于1929年发表著名的哈勃定律，认为红移与星系距离成正比关系，而红移在低速时又等于退行速率（光速为1），因此有$u_0 = H_0 D_0$，其中$H_0$被称为哈勃常数。结合前文所介绍的RW度规，不难写出$u(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} D(t)$。定义哈勃参数为$H(t) = \dot{a}(t)/a(t)$，以$t_0$代表当今时刻，便有$H_0 = H(t_0)$这一关系。
将哈勃定律作为边界条件引入Friedmann方程便可得到宇宙诞生于奇点的推论。对Friedmann方程两项联立消去k，可得因为$\rho > 0, p \ge 0$，所以可知$\ddot{a}(t) < 0$。这意味着宇宙时刻处于动态，除了个别时刻外不会出现$\dot{a}(t) = 0$的情况。结合哈勃定律的观察，可知当今宇宙处于$\dot{a}(t) > 0$的阶段。如果沿时间反推，$\dot{a}(t)$将越来越大，即宇宙以越来越快的速率缩小，在某一刻（定义为$t=0$）达到$a(0)=0$，这一刻的密度为无限大，称为大爆炸奇点（big bang singularity）。虽然称之为“大爆炸”，但这并不是一般意义的大爆炸——爆炸是在一定的时空背景下发生的事件，而宇宙大爆炸其本身来源于一个奇点，创造了时空并将物质充满整个宇宙空间，且不能向过去回溯。
从Freidmann方程还可以得知，宇宙的最终演化取决于空间的几何性质。将Freidmann方程的第一项微分并结合消去k的关系式$3\ddot{a} = -4\pi a(\rho + 3p)$可得，用于求解$a(t)$的时间演化。对纯物质宇宙而言，$\rho=\rho_M, p=0$，对纯辐射宇宙而言，$\rho = \rho_R, p=\rho_R/3$，分别求解得到，将其代入Freidemann方程的第一项即可求解$a(t)$。对纯辐射宇宙而言$a^2(t) = 2Bt - kt^2$，$k=+1$意味着尺度因子$a(t)$在未来某一刻会开始变小，并最终回到0，宇宙走向终结；$k=0$或者$k=-1$意味着尺度因子将不断扩大下去，带来宇宙不断地膨胀。对纯物质宇宙有类似结论，故不赘述。
3. 宇宙标准模型
当然，人们更感兴趣的是原初宇宙的形成。对宇宙大爆炸和其后极短时间内宇宙演化的研究能够为当今宇宙的形成提供丰富的信息。前后几十年的研究产生了很多理论进展和实验观测支持，形成了现在的主流模型，称为宇宙标准模型。
在宇宙的早期约 $t=10^{11}s$ 内，可以近似看作纯辐射宇宙，又因为宇宙不存在“外界”这一概念，所以可视为绝热膨胀过程，可求得温度$T$与时间$t$的关系。量子统计力学指出纯辐射宇宙中 $\rho \propto T^4$，而上一节通过Friedmann方程求得纯辐射宇宙 $\rho_R a^4 = const$，因此 $T \propto a^{-1}$。在极早期 $a(t)$中有关k的二阶项可忽略，近似地有 $a^2(t) = 2Bt$。于是可得
宇宙诞生于大爆炸后，随着尺度因子的膨胀，温度逐渐降低。宇宙从仅包含正反粒子的热平衡状态逐渐冷却，辐射场中粒子平均能量$kT$逐次跌破粒子静质量、核反应能量的阈值，生成了中子、质子和电子，组成原子核、原子和分子，直到最终形成恒星和星系。接下来我们就逐次对这一过程进行介绍。
3.1 大爆炸奇点
奇点的存在性。宇宙大爆炸始于奇点$(t=0, T=\infty)$，而对奇点的处理非常棘手：在奇点处很多物理量都趋于无穷，一切的物理定律都失效。也因此很多物理学家对宇宙大爆炸奇点的存在持怀疑态度，并提出若干论点认为奇点的存在只是理论上过度简化产生的（如完美的球对称）。然而霍金（Hawking）和彭罗斯（Penrose）从1965年至1970年利用整体微分几何证明，在满足一些很宽松的条件情况下（尤其是没有对称性的要求），奇点的出现是必然的（奇点定理）。这让物理学家们不得不接受奇点的存在，并开始投入精力研究奇点处物理规律的性质。由于不相信物理量会无限变大，我们应该从另一个角度去看待奇点定理——与其说是它证明了奇点的存在性，不如说它证明了广义相对论在“奇点”附近的不适用性。
普朗克时间内的新物理。现代物理学有两大支柱，量子力学和广义相对论，它们各自解决了“近代物理大厦上的两朵乌云”——黑体辐射问题和真空以太问题。在微观领域，量子力学具有绝对的统治力；而在宏观领域，新的观测结果不断证实广义相对论的预言。然而这两套理论并不相容：量子力学的一个基本世界观是任一可观测量不能有确定值，而广义相对论中所有可观测量都有确定值。正常情况下这两者可以在各自的领域独立起作用，但宇宙大爆炸奇点将它们联系在了一起——广义相对论推断了大爆炸奇点的存在，而在大爆炸发生后很短的$t_c$时间内，宇宙的尺度如此之小，以至于必须用量子力学对其进行研究。$t_c$可以从量纲分析估计得到，它应只由$G, \hbar, c$决定，唯一满足条件的量为普朗克时间 $t_P = (G\hbar/c^5)^{1/2}\sim 10^{-43}s$，因此$[0s, 10^{-43}s]$时间内宇宙的性质是我们以当前物理理论还无法讨论的。
3.2 早期宇宙：热平衡、物质不对称
早期宇宙因为温度极高，粒子之间频繁的相互作用使得宇宙除了一些基本粒子外，不存在更复杂的结构，保持着一种充分的热平衡状态。大致来讲，此时的宇宙由能量极高的正反粒子对组成，包括夸克、轻子、规范玻色子以及其他尚未确证或被认识的粒子。所谓“充分的热平衡”是指高能粒子间的相互作用十分频繁，使得相互间处于热平衡状态。比如光子在当今宇宙几乎可以畅行无阻地走很长的距离（远处的星光），但在早期宇宙因为物质相当的稠密，光子还有中微子等粒子频繁与其他粒子发生碰撞，从而不同粒子间达到热平衡，可比喻为“一锅充分搅拌的基本粒子汤”。而且虽然宇宙一直在膨胀，但此时锅的膨胀还是赶不上搅拌的速度。
在温度稍稍下降之后，宇宙不再产生新的质子和中子，质子加中子的总数大致确定，但正反电子对仍然继续出现和湮灭。在温度较高时，粒子的平均能量$kT$超过很多重粒子的静质量，整个宇宙是接近辐射宇宙，从而允许 $2\gamma \rightarrow p + \bar{p}, 2\gamma \rightarrow n + \bar{n}$等生成中子质子对的过程。但在温度$kT$下降至低于质子(p)和中子(n)的静质量（约1850$m_e$）后，新生成的正反质子中子对$(p, \bar{p}), (n, \bar{n})$数量大幅下降，已有的正反粒子对也大量湮灭消失。理论上正反中子对、正反质子对是成对出现的，但从宇宙后来的发展来看，虽然大部分正反粒子对都湮灭了，但也残留了很多中子和质子。究竟因为什么原因导致宇宙对称性的破缺，使得留下的大部分是正粒子，现在的理论还无法解释，或许自然真的偏爱正粒子吧。此时因为$kT \gg m_e$，正反电子对$(e, e^+)$仍然不断出现和湮灭。
3.3 中期宇宙：中微子退耦、原初核形成
在约$t=1s$左右，随着宇宙膨胀、温度下降，粒子不再稠密，中微子$\nu$的自由程大大增长，基本停止与其他粒子的相互作用，这一事件称为中微子退耦（decoupling）。中微子退耦时间和温度分别记为 $t_{\nu d}, T_{\nu d}$。由于中微子是参与中子质子转化的重要粒子（$p+e\leftrightarrow n+\nu_e$, $p + \bar{\nu}_e \leftrightarrow n + e^{+}$），随着中微子的退耦，中子数量与质子数量的比例 $n_n/n_p = e^{-(m_n - m_p)/kT_{\nu d}}$ 就在退耦温度$T_{\nu d}$时基本确定，并最终决定了宇宙中$^4He$的丰度。
在约$t=1s - 100s$时间内，宇宙温度在$10^{10}K - 10^{9}K$之间，是形成原初氦核$^4He$的窗口期。这段时间核数量密度低并且宇宙还在快速膨胀，只有快速两粒子核反应能够发生。这一温度段涉及的物理过程已经在地球的高能实验室中被研究得很清楚，所以人们有较大的把握描述准确。已知的物理知识告诉我们，高于这一温度区间时，新形成的氦核会被高能光子击碎，而只有稍低于$10^9K$时氘核$^2H$才能够大量存在，从而真正意义上开始产生$^4He$的核反应。最终中子质子通过一系列两粒子核反应产生出稳定的$^4He$核，形成了可观测宇宙中占四分之一的氦丰度，这一理论被称为原初核理论。至于其他更重的原子核，是在恒星形成后由重力所维持的恒星内部核反应中所产生的。
原初核理论的重要贡献还包括精确解释了原初核合成阶段其他产物的丰度，以及从一个意想不到的角度确定了中微子种类数上限。
- 在原初核合成阶段，除了占主导的$^4He$，其他合成产物$^2H, ^3He, ^7Li$的丰度也由中子质子比决定，但同时这些合成产物的丰度对宇宙中重子数和光子数之比$\eta$很敏感。计算表明$\eta$的值取在$(3.4\sim5)\times 10^{-10}$时，各产物的理论丰度都和观测值相符。
- 中微子类型数本是粒子物理学的问题，很少有粒子物理学家认为宇宙学能够提供什么帮助。但Steigman等于1977年发文指出，中微子种类的增加会使宇宙原初核形成时$^4He$丰度增加，由此确定了中微子种类数小于等于7。在后人的努力下，最终确定了中微子种类数小于3.3，为粒子物理作出重大贡献。
3.4 晚期宇宙：光子退耦、结构形成
在原初核形成后的很长一段时间内，除宇宙在继续膨胀外都无事发生，直到$t\approx 10^{13}s \approx 400k~y.$光子退耦发生。此时的温度$T\approx 3000K$，光子的能量和碰撞频率不再能够支持将电子与原子核分离，于是原子核和电子结合产生中性粒子。因为与中性粒子的碰撞稀少，光子和中性粒子的热平衡解耦，能够在很大空间内畅行无阻，宇宙也变得透明。此后光子系统独立地随宇宙的膨胀而演化。估算表明退耦后的光子系统的当今温度$T_0 \sim 3K$，就是说，当今宇宙由大量背景光子所充满，它们的能量密度按波长的分布由温度为3K的那条黑体辐射曲线所描述。因为辐射主要集中在微波波段，因此称之为宇宙微波背景辐射。
标准模型是在大尺度空间均匀和各向同性的基础上建立的，而在小一点的尺度下，宇宙呈现有层次的结构：恒心、星系、星系团和超星系团。一个普遍被接受的想法是在宇宙形成的最初时期存在非常微弱的密度涨落，而引力对这种不对称性有放大作用，最终导致密度分布向更不平衡方向发展。宇宙结构的形成有两种理论，分别称为热暗物质模型和冷暗物质模型，前者认为结构是“自上而下”形成的：先形成超星系团，再逐级破裂为星系团和星系；后者则认为结构是“自下而上”形成的。结合暴涨模型提供的原初扰动，冷暗物质模型已取得很大成功。
4. 小结
作为一个学物理出身的人，广义相对论就是经典物理学的终极浪漫。虽然我在本科时已经修读过广义相对论的研究生课程并且拿到了很高的绩点，但始终不认为自己真正读懂了它。在毕业接近十年之际，才慢吞吞地啃完了梁灿彬老师的《微分几何入门与广义相对论》上册，算是为二十年来的追星梦想作了个了结。当然，这并不意味着学习的终结，微分几何将继续成为我追寻人工智能道路上的得力帮手。